I have heard an explanation, that is:" NP-Completeness is probably one of the more enigmatic ideas in the study of algorithms. "NP" stands for "nondeterministic polynomial time," and is the name for what is called a complexity class to which problems can belong. The important thing about the NP complexity class is that problems within that class can be verified by a polynomial time algorithm. As an example, consider the problem of counting stuff. Suppose there are a bunch of apples on a table. The problem is "How many apples are there?" You are provided with a possible answer, 8. You can verify this answer in polynomial time by using the algorithm of, duh, counting the apples. Counting the apples happens in O(n) (that's Big-oh notation) time, because it takes one step to count each apple. For n apples, you need n steps. This problem is in the NP complexity class.

如果一个问题可以证明它既NP-Hard，又在多项式时间内可验证，那么它就被归类为NP-complete。在不深入讨论NP-Hard的情况下，只要说明某些问题的多项式时间解还没有找到就足够了。也就是说，它需要n!(n !)步来解它们。然而，如果给你一个np完全问题的解，你可以在多项式时间内验证它。

np完全问题的一个经典例子是旅行商问题。”

作者:ApoxyButt 来自:http://www.everything2.com/title/NP-complete

np完全是一类问题。

P类由那些可以在多项式时间内解决的问题组成。例如，对于某个常数k，它们可以用O(nk)来求解，其中n是输入的大小。简单地说，您可以编写一个在合理时间内运行的程序。

NP类由那些在多项式时间内可验证的问题组成。也就是说，如果我们已知一个可能的解，那么我们可以在多项式时间内检验这个解是否正确。

一些例子是布尔可满足性(或SAT)问题，或哈密顿循环问题。在NP类中有很多已知的问题。

NP完全意味着问题至少和NP中的任何问题一样难。

它对计算机科学很重要，因为它已经证明了NP中的任何问题都可以转化为NP完备中的另一个问题。这意味着任何一个NP完全问题的解都是所有NP问题的解。

安全性中的许多算法依赖于NP困难问题没有已知解的事实。如果能找到解决方案，它肯定会对计算产生重大影响。

上面NP完全问题的定义是正确的，但我想我可能会对它们的哲学重要性进行抒情，因为还没有人解决这个问题。

几乎你遇到的所有复杂问题都是NP完全的。这门课有一些非常基础的东西，从计算上看和容易解决的问题是不同的。它们有自己的味道，而且不难辨认。这基本上意味着任何适度复杂的算法都不可能精确地解决——调度、优化、包装、覆盖等。

But not all is lost if a problem you'll encounter is NP Complete. There is a vast and very technical field where people study approximation algorithms, which will give you guarantees for being close to the solution of an NP complete problem. Some of these are incredibly strong guarantees -- for example, for 3sat, you can get a 7/8 guarantee through a really obvious algorithm. Even better, in reality, there are some very strong heuristics, which excel at giving great answers (but no guarantees!) for these problems.

请注意，两个非常著名的问题——图同构和因式分解——不知道是P或NP。

基本上这个世界的问题可以分为

1)无法解决的问题 2)棘手问题 3) np问题 4) P-Problem

1)第一个是没有解决问题的办法。 2)其次是需要指数时间(即O (2 ^ n)以上)。 3)第三个是NP。 4)第四个问题很简单。

P:多项式时间问题的解。

NP:指多项式时间尚未找到一个解决方案。我们不确定有没有多项式时间的解决方案，但一旦你提供了一个解决方案，这个解决方案可以在多项式时间验证。

NP完全:是指在多项式时间中我们还没有找到一个解，但它可以在多项式时间中得到验证。NP中的NPC问题是比较困难的问题，所以如果我们能证明NPC问题有P个解，那么NP问题就能在P个解中找到。

NP困难:指多项式时间尚未找到解决方案，但它肯定无法在多项式时间内得到验证。NP难的问题超过NPC难的问题。

据我所知

P是可以用确定性TM在多项式时间内解决的问题集。

NP是需要在多项式时间内解决非确定性TM的问题集。 这意味着我们可以用多项式时间并行检查每个实例的所有不同变量组合。如果问题是可解决的，那么至少有一个平行的TM实例会以“是”而停止。 这也意味着如果你能对变量/解做出正确的猜测，那么你只需要在多项式时间内检查它的有效性。

NP- hard是指问题比NP更难的集合。这意味着NP- hard问题比NP集中的任何问题都要难。即使使用图灵机的非确定性，这些问题也是指数级的。所以并行计算在解决这些问题时没有帮助。

NP- complete是NP和NP- hard的交集集。根据我的理解，

NP完全中的问题至少和NP集中最难的问题一样难。 所有np -完全问题的类都是等价的，即np -完全集中的一个问题可以简化为任何其他的np -完全问题。这意味着，如果任何一个np完全问题都有一个有效的解，那么所有的np完全问题都可以用相同的解来解决。

如果np -完全集中的任何问题在多项式时间内确定可解，则整个np -完全集在多项式时间内确定可解。此外，由于NP-完全问题至少与NP集中最难的问题一样难，NP集中的所有问题(等于或容易于NP-完全集中的问题)将被确定性多项式的运行时间所限制，将P集扩展到NP集中，从而得到P=NP。

如果我弄错了，请告诉我。

如果你想找一个np完全问题的例子那么我建议你看一下3-SAT。

基本前提是你有一个合取范式的表达式，这是一种说法，你有一系列由or连接的表达式，它们都必须为真:

(a or b) and (b or !c) and (d or !e or f) ...

3- sat问题是找到一个满足表达式的解，其中每个or表达式恰好有3个布尔值可以匹配:

(a or !b or !c) and (!a or b or !d) and (b or !c or d) ...

这个问题的解可能是(A =T, b=T, c=F, d=F)。然而，目前还没有发现能在一般情况下在多项式时间内解决这个问题的算法。这意味着解决这个问题的最佳方法基本上是进行强力的猜测和检查，并尝试不同的组合，直到找到一个有效的组合。

3-SAT问题的特殊之处在于任何np完全问题都可以简化为3-SAT问题。这意味着如果你能找到一个多项式时间算法来解决这个问题，那么你就能得到1,000,000美元，更不用说全世界计算机科学家和数学家的尊重和钦佩了。