什么是循环不变量?

我在读CLRS的《算法导论》。在第二章中，作者提到了“循环不变量”。什么是循环不变量?

当前回答

简单地说，它是一个循环条件，在每次循环迭代中都为真:

for(int i=0; i<10; i++)
{ }

在这里，我们可以说i的状态是i<10并且i>=0

2017-10-28 13:59:53

其他回答

简单地说，它是一个循环条件，在每次循环迭代中都为真:

for(int i=0; i<10; i++)
{ }

在这里，我们可以说i的状态是i<10并且i>=0

2017-10-28 13:59:53

循环不变量属性是一个条件，适用于循环执行的每一步。For循环，while循环，等等)

这对于循环不变证明是必不可少的，如果在执行的每一步都保持循环不变属性，则可以证明算法正确执行。

对于一个正确的算法，循环不变量必须保持在:

初始化(开始)

维护(之后的每一步)

终止(当它完成时)

这被用来计算很多东西，但最好的例子是加权图遍历的贪婪算法。对于贪心算法产生最优解(穿过图的路径)，它必须达到连接所有节点在最小权值路径可能。

因此，循环不变的性质是所选择的路径具有最小的权值。在开始时，我们没有添加任何边，所以这个属性为真(在这种情况下，它不是假的)。在每一步中，我们都遵循最小权值边(贪婪步)，所以我们再次采用最小权值路径。最后，我们找到了最小加权路径，所以我们的性质也是成立的。

如果一个算法不这样做，我们可以证明它不是最优的。

2017-03-09 01:13:50

之前的回答已经很好地定义了循环不变量。

以下是CLRS的作者如何使用循环不变量来证明插入排序的正确性。

插入排序算法(见书):

INSERTION-SORT(A)
    for j ← 2 to length[A]
        do key ← A[j]
        // Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1].
        i ← j - 1
        while i > 0 and A[i] > key
            do A[i + 1] ← A[i]
            i ← i - 1
        A[i + 1] ← key

循环不变量在这种情况下: 子数组[1到j-1]始终被排序。

现在让我们检查一下，证明这个算法是正确的。

初始化:在第一次迭代j=2之前。所以子数组[1:1]就是要测试的数组。因为它只有一个元素，所以它是有序的。这样不变性就被满足了。

维护:这可以通过在每次迭代后检查不变量来轻松验证。在这种情况下，它被满足了。

终止:这是我们将证明算法正确性的步骤。

当循环结束时，j=n+1。循环不变量再次被满足。这意味着子数组[1到n]应该排序。

这就是我们想用算法做的。因此，我们的算法是正确的。

2015-01-05 07:12:22

值得注意的是，循环不变量可以帮助迭代算法的设计，因为它被认为是一个断言，表示变量之间的重要关系，在每次迭代开始时和循环结束时，这些关系必须为真。如果这是成立的，计算是在有效的道路上。如果为false，则算法失败。

2011-09-28 02:09:32

对不起，我没有评论权限。

正如你提到的@Tomas Petricek