为了检验一个数N是不是质数。 我们只需要检查N是否能被<=SQROOT(N)的数整除。这是因为，如果我们把N分解成任意两个因子比如X和Y。N = XY。 X和Y都不能小于SQROOT(N)因为XY < N X和Y都不能大于SQROOT(N)因为X*Y >n

因此，一个因子必须小于或等于SQROOT(N)(而另一个因子大于或等于SQROOT(N))。 因此，要检查N是否为质数，我们只需要检查那些<= SQROOT(N)的数字。

设n是非素数。因此，它至少有两个大于1的整数因子。设f是n个这样的因子中最小的。设f >√n，则n/f是一个≤√n的整数，因此小于f，因此f不可能是n的最小因子。反证法;N的最小因子必须≤根号N。

假设我们有一个数字“a”，它不是质数[非质数/合数的意思是-一个可以被除1或它本身以外的数字整除的数字。例如，6可以被2或3整除，也可以被1或6整除。

6 = 1 × 6或6 = 2 × 3

如果a不是质数那么它可以被另外两个数除我们设这两个数是b和c。这意味着

a = b * c。

现在如果b或c，它们中的任何一个大于a的平方根那么b和c的乘积就会大于a。

因此，“b”或“c”总是<=“a”的平方根来证明方程“a=b*c”。

由于上述原因，当我们测试一个数字是否是质数时，我们只检查到该数字的平方根。

是的，正如上面所解释的，迭代到Math就足够了。对一个数的平方根取底，以检查其质数(因为SQRT涵盖了所有可能的除法情况;和数学。因为任何高于SQRT的整数已经超出了它的范围)。

下面是一个可运行的JavaScript代码片段，它代表了这种方法的简单实现-它的“运行时友好性”足以处理相当大的数字(我试着检查质数和非质数，最大可达10**12，即1万亿，将结果与在线质数数据库进行比较，即使在我的廉价手机上也没有遇到错误或延迟):

function isPrime(num) { if (num % 2 === 0 || num < 3 || !Number.isSafeInteger(num)) { return num === 2; } else { const sqrt = Math.floor(Math.sqrt(num)); for (let i = 3; i <= sqrt; i += 2) { if (num % i === 0) return false; } return true; } } <label for="inp">Enter a number and click "Check!":</label><br> <input type="number" id="inp"></input> <button onclick="alert(isPrime(+document.getElementById('inp').value) ? 'Prime' : 'Not prime')" type="button">Check!</button>

假设m =根号n，那么m × m = n。如果n不是质数，那么n可以写成n = a × b，所以m × m = a × b。注意，m是实数，而n、a和b是自然数。

现在有三种情况:

A > m⇒b < m ⇒A = m, b = m A < m⇒b > m

在这三种情况下，min(a, b)≤m。因此，如果我们搜索到m，我们一定会找到n的至少一个因子，这足以证明n不是质数。

因为如果一个因子大于根号n，那么与它相乘等于n的另一个因子必然小于根号n。