就像我看到的大多数解释一样，上面的解释清楚地说明了如何使用2的补码，但并没有真正解释它们在数学上是什么。我会试着这么做，至少对整数来说是这样的，我会先介绍一些你们可能熟悉的背景知识。

回想一下它是如何用于十进制的:2345是2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100的一种写法。

同样地，二进制是一种只使用0和1来写数字的方法，遵循相同的思路，但把上面的10换成了2。然后在二进制中，1111是1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20的一种写法，如果你算出来，结果等于15(以10为底)。因为8+4+2+1 = 15。

这对于正数来说很好。它甚至适用于负数，如果你愿意在负数前面加一个负号，就像人类对待小数一样。在某种程度上，这甚至可以在计算机上完成，但我从20世纪70年代初就没见过这样的计算机了。我将把原因留到另一个讨论。

对于计算机来说，负数使用补表示法效率更高。这里有一些经常被忽视的东西。补表示法涉及到数字数字的某种反转，甚至是在正常正数之前隐含的零。这很尴尬，因为问题来了:所有这些?这可能是一个无限的数字要考虑。

幸运的是，计算机并不代表无穷。数字被限制在特定的长度(或者宽度，如果你喜欢)。所以让我们回到正二进制数，但有一个特定的大小。在这些例子中，我将使用8个数字(“位”)。所以我们的二进制数应该是00001111或者0 × 27 + 0 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20

为了形成2的补负，我们首先将所有的(二进制)数字补成11110000，然后加上1，形成11110001，但我们如何理解这意味着-15?

The answer is that we change the meaning of the high-order bit (the leftmost one). This bit will be a 1 for all negative numbers. The change will be to change the sign of its contribution to the value of the number it appears in. So now our 11110001 is understood to represent  -1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20Notice that "-" in front of that expression? It means that the sign bit carries the weight -27, that is -128 (base 10). All the other positions retain the same weight they had in unsigned binary numbers.

算出-15，就是-128 + 64 + 32 + 16 + 1用计算器试试。它是-15。

Of the three main ways that I've seen negative numbers represented in computers, 2's complement wins hands down for convenience in general use. It has an oddity, though. Since it's binary, there have to be an even number of possible bit combinations. Each positive number can be paired with its negative, but there's only one zero. Negating a zero gets you zero. So there's one more combination, the number with 1 in the sign bit and 0 everywhere else. The corresponding positive number would not fit in the number of bits being used.

关于这个数字更奇怪的是，如果你试图通过互补和加1来形成正数，你会得到相同的负数。0会这样做似乎很自然，但这是出乎意料的，完全不是我们习惯的行为，因为除了计算机，我们通常认为数字是无限供应的，而不是这种固定长度的算术。

这只是怪胎的冰山一角。表面之下还有更多的东西在等待着，但这就足够我们讨论了。如果你研究定点算术中的“溢出”，你可能会发现更多。如果你真的想深入了解它，你可能还会研究“模算术”。

我喜欢lavinio的回答，但变换部分增加了一些复杂性。通常情况下，可以选择在保留符号位的情况下移动位，或者不保留符号位。这是将数字处理为有符号数字(-8到7表示小块，-128到127表示字节)或全范围无符号数字(0到15表示小块，0到255表示字节)之间的选择。

让我们用8位的二进制形式得到答案10 - 12: 我们要做的是10 + (-12)

我们需要用12的恭维部分减去10。 12的二进制值是00001100。 10的二进制值是00001010。

为了得到12的赞美部分，我们只需要把所有的位反转，然后加1。 12的二进制反转是11110011。这也是逆码(一个人的补码)。 现在我们需要加一个，现在是11110100。

所以11110100是12的赞美!这样想很简单。

现在你可以用二进制形式来解决上面的10 - 12问题了。

00001010
11110100
-----------------
11111110  

2's complement is essentially a way of coming up with the additive inverse of a binary number. Ask yourself this: Given a number in binary form (present at a fixed length memory location), what bit pattern, when added to the original number (at the fixed length memory location), would make the result all zeros ? (at the same fixed length memory location). If we could come up with this bit pattern then that bit pattern would be the -ve representation (additive inverse) of the original number; as by definition adding a number to its additive inverse always results in zero. Example: take 5 which is 101 present inside a single 8 bit byte. Now the task is to come up with a bit pattern which when added to the given bit pattern (00000101) would result in all zeros at the memory location which is used to hold this 5 i.e. all 8 bits of the byte should be zero. To do that, start from the right most bit of 101 and for each individual bit, again ask the same question: What bit should I add to the current bit to make the result zero ? continue doing that taking in account the usual carry over. After we are done with the 3 right most places (the digits that define the original number without regard to the leading zeros) the last carry goes in the bit pattern of the additive inverse. Furthermore, since we are holding in the original number in a single 8 bit byte, all other leading bits in the additive inverse should also be 1's so that (and this is important) when the computer adds "the number" (represented using the 8 bit pattern) and its additive inverse using "that" storage type (a byte) the result in that byte would be all zeros.

 1 1 1
 ----------
   1 0 1
 1 0 1 1 ---> additive inverse
  ---------
   0 0 0

我想知道是否有比维基百科上的文章更好的解释。

你试图用2的补表示法解决的基本问题是存储负整数的问题。

首先，考虑一个存储在4位的无符号整数。您可以拥有以下内容

0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
...
1111 = 15

这些是无符号的，因为没有指示它们是负的还是正的。

符号大小和多余符号

要存储负数，您可以尝试一些方法。首先，您可以使用符号幅度表示法，它将第一个位指定为符号位来表示+/-，其余位表示幅度。还是用4位假设1代表- 0代表+那么你就有

0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
...
1000 = -0
1001 = -1
1111 = -7

所以，你看到问题了吗?我们有正0和负0。更大的问题是二进制数的加减法。使用符号幅度进行加减法的电路将非常复杂。

是什么

0010
1001 +
----

?

另一个系统是过量符号。你可以存储负数，你可以摆脱两个0的问题但加减法仍然很困难。

于是就有了二的补。现在您可以存储正整数和负整数，并相对轻松地执行算术。有许多方法可以将一个数转换为二的补数。这是一个。

将十进制转换为二的补数

将数字转换为二进制(暂时忽略符号) 例如，5是0101，-5是0101 如果这个数字是正数，那么你就完成了。 例5是二进制的0101，使用二的补符号。 如果数字是负的，那么 3.1求补(0和1的倒数) 例如，-5是0101，所以找到补语是1010 3.2补数1010 + 1 = 1011加1 因此，2的补数-5等于1011。

那么，如果你想用二进制写2 +(-3)呢?2 +(-3) = -1。 如果你用符号的大小来加这些数，你需要做什么?0010 + 1101 = ?

使用2的补码，想想会有多简单。

 2  =  0010
 -3 =  1101 +
 -------------
 -1 =  1111

将2的补数转换为十进制

将1111转换为十进制:

这个数从1开始，所以它是负的，所以我们找到1111的补数，也就是0000。 0000加上1，得到0001。 将0001转换为十进制，即1。 应用符号= -1。

哒哒！

两人的补足(托马斯·芬利)

我把所有位的倒数加1。编程:

  // In C++11
  int _powers[] = {
      1,
      2,
      4,
      8,
      16,
      32,
      64,
      128
  };

  int value = 3;
  int n_bits = 4;
  int twos_complement = (value ^ ( _powers[n_bits]-1)) + 1;