我知道大o符号，但我不知道如何计算它的许多函数。特别是，我一直在试图弄清楚朴素版斐波那契数列的计算复杂度:
int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 1)
return n;
else
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
斐波那契数列的计算复杂度是多少?它是如何计算的?
当前回答
你可以展开它，有一个可视化
T(n) = T(n-1) + T(n-2) <
T(n-1) + T(n-1)
= 2*T(n-1)
= 2*2*T(n-2)
= 2*2*2*T(n-3)
....
= 2^i*T(n-i)
...
==> O(2^n)
其他回答
它的下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:
T(n) = Ω(2^(n/2)) (lower bound)
T(n) = O(2^n) (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)
如果你愿意，可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。
你可以展开它，有一个可视化
T(n) = T(n-1) + T(n-2) <
T(n-1) + T(n-1)
= 2*T(n-1)
= 2*2*T(n-2)
= 2*2*2*T(n-3)
....
= 2^i*T(n-i)
...
==> O(2^n)
通过绘制函数调用图来计算很简单。简单地为n的每个值添加函数调用，看看这个数字是如何增长的。
大O是O(Z^n)， Z是黄金比例，约为1.62。
当我们增加n时，列奥纳多数和斐波那契数都接近这个比率。
与其他大O问题不同，输入中没有可变性，算法和算法的实现都是明确定义的。
不需要一堆复杂的数学。简单地画出下面的函数调用，并将函数与数字匹配。
如果你熟悉黄金比例你就能认出来。
这个答案比公认的f(n) = 2^n的答案更正确。永远不会。它会趋于f(n) = golden_ratio^n。
2 (2 -> 1, 0)
4 (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
8 (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
14 (5 -> 4, 3) (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
(3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
22 (6 -> 5, 4)
(5 -> 4, 3) (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
(3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
好吧，根据我的说法，它是O(2^n)，因为在这个函数中，只有递归花费了相当多的时间(分治)。我们看到，上面的函数将在树中继续存在，直到叶子趋近于F(n-(n-1))级，即F(1)。因此，当我们在这里记下树的每个深度处遇到的时间复杂度时，求和级数为:
1+2+4+.......(n-1)
= 1((2^n)-1)/(2-1)
=2^n -1
它是2^n的O(2^n)阶。
证明答案很好，但我总是不得不手工做一些迭代来真正说服自己。所以我在白板上画了一个小的调用树，并开始计算节点。我将计数分为总节点、叶节点和内部节点。以下是我得到的答案:
IN | OUT | TOT | LEAF | INT
1 | 1 | 1 | 1 | 0
2 | 1 | 1 | 1 | 0
3 | 2 | 3 | 2 | 1
4 | 3 | 5 | 3 | 2
5 | 5 | 9 | 5 | 4
6 | 8 | 15 | 8 | 7
7 | 13 | 25 | 13 | 12
8 | 21 | 41 | 21 | 20
9 | 34 | 67 | 34 | 33
10 | 55 | 109 | 55 | 54
显而易见的是，叶节点的数量是fib(n)经过几次迭代才发现，内部节点的数量是fib(n) - 1。因此节点总数为2 * fib(n) - 1。
由于在对计算复杂度进行分类时去掉了系数，最终答案是θ(fib(n))。
