我知道大o符号，但我不知道如何计算它的许多函数。特别是，我一直在试图弄清楚朴素版斐波那契数列的计算复杂度:
int Fibonacci(int n)
{
if (n <= 1)
return n;
else
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}
斐波那契数列的计算复杂度是多少?它是如何计算的?
当前回答
它的下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:
T(n) = Ω(2^(n/2)) (lower bound)
T(n) = O(2^n) (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)
如果你愿意，可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。
其他回答
它的下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释中所述)。这个递归实现的一个有趣的事实是它本身有一个紧密的Fib(n)渐近界。这些事实可以总结为:
T(n) = Ω(2^(n/2)) (lower bound)
T(n) = O(2^n) (upper bound)
T(n) = Θ(Fib(n)) (tight bound)
如果你愿意，可以用它的封闭形式进一步简化紧边界。
你可以展开它，有一个可视化
T(n) = T(n-1) + T(n-2) <
T(n-1) + T(n-1)
= 2*T(n-1)
= 2*2*T(n-2)
= 2*2*2*T(n-3)
....
= 2^i*T(n-i)
...
==> O(2^n)
通过绘制递归树可以更好地估计递归算法的时间复杂度，在这种情况下，绘制递归树的递归关系为T(n-1) =T(n- 2)+O(1) 注意，每一步花费O(1)意味着常数时间，因为它只做了一次比较来检查if块中的n值。递归树是这样的
n
(n-1) (n-2)
(n-2)(n-3) (n-3)(n-4) ...so on
这里假设上面树的每一层都用i表示 因此,
i
0 n
1 (n-1) (n-2)
2 (n-2) (n-3) (n-3) (n-4)
3 (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6)
假设在特定的i值处，树就结束了，也就是当n-i=1时，因此i=n-1，也就是说树的高度是n-1。 现在让我们看看树中n层中的每一层做了多少工作。注意，按照递归关系，每一步花费O(1)时间。
2^0=1 n
2^1=2 (n-1) (n-2)
2^2=4 (n-2) (n-3) (n-3) (n-4)
2^3=8 (n-3)(n-4) (n-4)(n-5) (n-4)(n-5) (n-5)(n-6) ..so on
2^i for ith level
因为i=n-1是树的高度，所以每一层所做的功为
i work
1 2^1
2 2^2
3 2^3..so on
因此，所做的总功将是每一层所做的功的总和，因此它将是2^0+2^1+2^2+2^3…+2^(n-1)，因为i=n-1。 通过几何级数，这个和是2^n，因此总时间复杂度是O(2^n)
通过绘制函数调用图来计算很简单。简单地为n的每个值添加函数调用，看看这个数字是如何增长的。
大O是O(Z^n)， Z是黄金比例，约为1.62。
当我们增加n时，列奥纳多数和斐波那契数都接近这个比率。
与其他大O问题不同，输入中没有可变性，算法和算法的实现都是明确定义的。
不需要一堆复杂的数学。简单地画出下面的函数调用，并将函数与数字匹配。
如果你熟悉黄金比例你就能认出来。
这个答案比公认的f(n) = 2^n的答案更正确。永远不会。它会趋于f(n) = golden_ratio^n。
2 (2 -> 1, 0)
4 (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
8 (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
14 (5 -> 4, 3) (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
(3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
22 (6 -> 5, 4)
(5 -> 4, 3) (4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
(3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(4 -> 3, 2) (3 -> 2, 1) (2 -> 1, 0)
(2 -> 1, 0)
将计算Fib(n)的时间函数建模为计算Fib(n-1)的时间加上计算Fib(n-2)的时间加上将它们相加的时间(O(1))的总和。这是假设重复计算相同的Fib(n)需要相同的时间-即不使用记忆。
T(n<=1) = O(1)
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)
你解决这个递归关系(例如使用生成函数)，你就会得到答案。
或者，你可以画出递归树，它的深度是n，直观地看出这个函数是渐近的O(2n)。然后你可以用归纳法证明你的猜想。
基数:n = 1是显而易见的
因此，假设T(n-1) = O(2n-1)
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)等于
T(n) = O(2n-1) + O(2n-2) + O(1) = O(2n)
然而，正如评论中提到的，这不是严格的界限。关于这个函数的一个有趣的事实是T(n)与Fib(n)的值渐近相同，因为两者都被定义为
f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
递归树的叶结点总是返回1。Fib(n)的值是递归树中所有叶子返回值的和，等于叶子的计数。由于每个叶需要O(1)来计算，T(n)等于Fib(n) x O(1)。因此，这个函数的紧界是斐波那契数列本身(~θ(1.6n))。你可以使用我上面提到的生成函数来找到这个紧边界。
