投弹算法

我有一个nxm个由非负整数组成的矩阵。例如:

“投下炸弹”会使目标细胞及其所有八个邻居的数量减少一个，直到最小值为零。

x x x 
x X x
x x x

什么样的算法可以确定将所有细胞减少到零所需的最少炸弹数量?

B选项(因为我不是一个细心的读者)

事实上，问题的第一个版本并不是我要寻找的答案。我没有仔细阅读整个任务，有额外的约束条件，让我们说:

那么简单的问题是，当行中的序列必须是非递增的:

8 7 6 6 5是可能的输入序列

7 8 5 5 2是不可能的，因为7 -> 8在一个序列中增长。

也许为“简单”的问题找到答案会有助于为更难的问题找到解决方案。

PS:我相信当我们有几个相同的情况需要最少的炸弹来清除上面的线时，我们会选择在“左侧”使用最多炸弹的一个。还有什么证据是正确的吗?

当前回答

这里有一个解决方案，推广良好的性质的角。

让我们假设我们可以为给定的字段找到一个完美的落点，也就是说，一个减少其中值的最佳方法。然后，为了找到最少的炸弹数量，一个算法的初稿可能是(代码是从ruby实现中复制粘贴的):

dropped_bomb_count = 0
while there_are_cells_with_non_zero_count_left
  coordinates = choose_a_perfect_drop_point
  drop_bomb(coordinates)
  dropped_bomb_count += 1
end
return dropped_bomb_count

挑战是choose_a_perfect_drop_point。首先，让我们定义一个完美的落点是什么。

(x, y)的放置点会减少(x, y)中的值。它也可能会减少其他单元格中的值。 (x, y)的放置点A比(x, y)的放置点b更好，如果它减少了b所减少的单元格的适当超集中的值。如果没有其他更好的投放点，投放点是最大的。 (x, y)的两个放置点是等效的，如果它们减少了同一组单元格。如果(x, y)的放置点等价于(x, y)的所有最大放置点，那么它就是完美的。

如果(x, y)存在一个完美的投放点，那么您不能比在(x, y)的一个完美投放点上投放炸弹更有效地降低(x, y)处的值。

给定字段的完美放置点是其任何单元格的完美放置点。

以下是一些例子:

单元格(0,0)(从零开始的索引)的完美放置点是(1,1)。(1,1)的所有其他放置点，即(0,0)、(0,1)和(1,0)，减少的单元格较少。

单元格(2,2)(从零开始的索引)的完美落点是(2,2)，以及所有周围的单元格(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)和(3,3)。

单元格(2,2)的完美放置点是(3,1):它减少了(2,2)中的值和(4,0)中的值。(2,2)的所有其他放置点都不是最大的，因为它们减少了一个单元格。(2,2)的完美下拉点也是(4,0)的完美下拉点，它是字段的唯一完美下拉点。它为这个领域带来了完美的解决方案(一颗炸弹)。

(2,2)没有完美的落点:(1,1)和(1,3)都减少(2,2)和另一个单元格(它们是(2,2)的最大落点)，但它们不相等。然而，(1,1)是(0,0)的完美落点，(1,3)是(0,4)的完美落点。

根据完美落点的定义和一定的检查顺序，我得到了以下问题示例的结果:

Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 6
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 2, 1
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 3, 1
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 4, 6
28

然而，该算法只有在每一步之后至少有一个完美落点时才能工作。可以在没有完美落点的情况下构建例子:

对于这些情况，我们可以修改算法，这样我们就不会选择完美的落点，而是选择一个具有最大落点的最小选择的坐标，然后计算每个选择的最小值。在上面的例子中，所有有值的单元格都有两个最大落点。例如，(0,1)有最大落点(1,1)和(1,2)。选择其中任何一个，然后计算最小值，会得到这样的结果:

Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 2, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 2, 1
2

2013-03-10 22:47:02

其他回答

如果你想要绝对最优解来清理棋盘，你将不得不使用经典的回溯，但如果矩阵非常大，它将需要很长时间才能找到最佳解，如果你想要一个“可能的”最优解，你可以使用贪婪算法，如果你需要帮助写算法，我可以帮助你

现在想想，这是最好的办法。在那里制作另一个矩阵，存储通过投掷炸弹而移除的点，然后选择点数最多的单元格，并在那里投掷炸弹更新点数矩阵，然后继续。例子:

2 3 5 -> (2+(1*3)) (3+(1*5)) (5+(1*3))
1 3 2 -> (1+(1*4)) (3+(1*7)) (2+(1*4))
1 0 2 -> (1+(1*2)) (0+(1*5)) (2+(1*2))

对于每个相邻的高于0的单元格，单元格值+1

2013-03-08 18:00:17

生成最慢但最简单且无错误的算法，并测试所有有效的可能性。这种情况非常简单(因为结果与炸弹放置的顺序无关)。

创建N次应用bomp的函数为所有炸弹放置/炸弹计数可能性创建循环(当矩阵==0时停止) 记住最好的解决方案。在循环的最后，你得到了最好的解决方案不仅是炸弹的数量，还有它们的位置

代码可以是这样的:

void copy(int **A,int **B,int m,int n)
    {
    for (int i=0;i<m;i++)
     for (int j=0;i<n;j++)
       A[i][j]=B[i][j];
    }

bool is_zero(int **M,int m,int n)
    {
    for (int i=0;i<m;i++)
     for (int j=0;i<n;j++)
      if (M[i][j]) return 0;
    return 1;
    }

void drop_bomb(int **M,int m,int n,int i,int j,int N)
    {
    int ii,jj;
    ii=i-1; jj=j-1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i-1; jj=j  ; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i-1; jj=j+1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i  ; jj=j-1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i  ; jj=j  ; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i  ; jj=j+1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i+1; jj=j-1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i+1; jj=j  ; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    ii=i+1; jj=j+1; if ((ii>=0)&&(ii<m)&&(jj>=0)&&(jj<n)&&(M[ii][jj])) { M[ii][jj]-=N; if (M[ii][jj]<0) M[ii][jj]=0; }
    }

void solve_problem(int **M,int m,int n)
    {
    int i,j,k,max=0;
    // you probably will need to allocate matrices P,TP,TM yourself instead of this:
    int P[m][n],min;             // solution: placement,min bomb count
    int TM[m][n],TP[m][n],cnt;   // temp
    for (i=0;i<m;i++)            // max count of bomb necessary to test
     for (j=0;j<n;j++)
      if (max<M[i][j]) max=M[i][j];
    for (i=0;i<m;i++)            // reset solution
     for (j=0;j<n;j++)
      P[i][j]=max;
    min=m*n*max; 
        copy(TP,P,m,n); cnt=min;

    for (;;)  // generate all possibilities
        {
        copy(TM,M,m,n);
        for (i=0;i<m;i++)   // test solution
         for (j=0;j<n;j++)
          drop_bomb(TM,m,n,TP[i][j]);
        if (is_zero(TM,m,n))// is solution
         if (min>cnt)       // is better solution -> store it
            {
            copy(P,TP,m,n); 
            min=cnt;    
            }
        // go to next possibility
        for (i=0,j=0;;)
            {
            TP[i][j]--;
            if (TP[i][j]>=0) break;
            TP[i][j]=max;
                 i++; if (i<m) break;
            i=0; j++; if (j<n) break;
            break;
            }
        if (is_zero(TP,m,n)) break;
        }
    //result is in P,min
    }

这可以通过很多方式进行优化，……最简单的是用M矩阵重置解，但你需要改变最大值和TP[][]递减代码

2013-09-06 09:49:17

这里有一个解决方案，推广良好的性质的角。

dropped_bomb_count = 0
while there_are_cells_with_non_zero_count_left
  coordinates = choose_a_perfect_drop_point
  drop_bomb(coordinates)
  dropped_bomb_count += 1
end
return dropped_bomb_count

挑战是choose_a_perfect_drop_point。首先，让我们定义一个完美的落点是什么。

如果(x, y)存在一个完美的投放点，那么您不能比在(x, y)的一个完美投放点上投放炸弹更有效地降低(x, y)处的值。

给定字段的完美放置点是其任何单元格的完美放置点。

以下是一些例子:

单元格(0,0)(从零开始的索引)的完美放置点是(1,1)。(1,1)的所有其他放置点，即(0,0)、(0,1)和(1,0)，减少的单元格较少。

单元格(2,2)(从零开始的索引)的完美落点是(2,2)，以及所有周围的单元格(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)和(3,3)。

根据完美落点的定义和一定的检查顺序，我得到了以下问题示例的结果:

Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 5
Drop bomb on 1, 6
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 0, 6
Drop bomb on 2, 1
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 2, 5
Drop bomb on 3, 1
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 0
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 4
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 3
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 3, 6
Drop bomb on 4, 6
28

然而，该算法只有在每一步之后至少有一个完美落点时才能工作。可以在没有完美落点的情况下构建例子:

Drop bomb on 1, 1
Drop bomb on 2, 2
Drop bomb on 1, 2
Drop bomb on 2, 1
2

2013-03-10 22:47:02

这是另一个想法:

让我们先给黑板上的每个空格分配一个权重，计算在那里扔炸弹会减少多少数字。如果这个空间有一个非零数，它就得到一个点，如果它的相邻空间有一个非零数，它就得到一个额外的点。如果这是一个1000 * 1000的网格，我们为这100万个空间中的每一个都分配了权重。

然后根据权重对列表中的空格进行排序，并轰炸权重最高的空格。可以这么说，这是我们最大的收获。

在此之后，更新每个空间的重量是受炸弹的影响。这是你轰炸的空间，和它相邻的空间，以及它们相邻的空间。换句话说，任何空间的价值都可能因为爆炸而减少为零，或者相邻空间的价值减少为零。

然后，根据权重重新排序列表空间。由于轰炸只改变了一小部分空间的权重，因此不需要使用整个列表，只需在列表中移动这些空间。

轰炸新的最高权重空间，并重复上述步骤。

这保证了每次轰炸都能减少尽可能多的空格(基本上，它会击中尽可能少的已经为零的空格)，所以这是最优的，除非它们的权重是相同的。所以你可能需要做一些回溯跟踪，当有一个平局的顶部重量。不过，只有最高重量的领带重要，其他领带不重要，所以希望没有太多的回溯。

Edit: Mysticial's counterexample below demonstrates that in fact this isn't guaranteed to be optimal, regardless of ties in weights. In some cases reducing the weight as much as possible in a given step actually leaves the remaining bombs too spread out to achieve as high a cummulative reduction after the second step as you could have with a slightly less greedy choice in the first step. I was somewhat mislead by the notion that the results are insensitive to the order of bombings. They are insensitive to the order in that you could take any series of bombings and replay them from the start in a different order and end up with the same resulting board. But it doesn't follow from that that you can consider each bombing independently. Or, at least, each bombing must be considered in a way that takes into account how well it sets up the board for subsequent bombings.

2013-03-08 20:39:47

这里似乎有一个非二部匹配子结构。考虑下面的例子:

这种情况下的最佳解决方案的大小为5，因为这是9-cycle的边的最小顶点覆盖的大小。

这个例子，特别地，表明了一些人发布的线性规划松弛法是不精确的，不管用，还有其他一些不好的东西。我很确定我可以减少“用尽可能少的边覆盖我的平面立方图的顶点”来解决你的问题，这让我怀疑任何贪婪/爬坡的解决方案是否有效。

在最坏的情况下，我找不到在多项式时间内解出来的方法。可能有一个非常聪明的二进制搜索和dp解决方案，但我没有看到。

编辑:我看到这个比赛(http://deadline24.pl)是语言无关的;他们给你一堆输入文件，你给他们输出。所以你不需要在最坏情况下多项式时间内运行的东西。特别是，您可以查看输入!

There are a bunch of small cases in the input. Then there's a 10x1000 case, a 100x100 case, and a 1000x1000 case. The three large cases are all very well-behaved. Horizontally adjacent entries typically have the same value. On a relatively beefy machine, I'm able to solve all of the cases by brute-forcing using CPLEX in just a couple of minutes. I got lucky on the 1000x1000; the LP relaxation happens to have an integral optimal solution. My solutions agree with the .ans files provided in the test data bundle.

我敢打赌你可以用比我更直接的方式使用输入的结构，如果你看了它;看起来你只需要砍掉第一行，或者两行，或者三行直到你什么都不剩。(看起来，在1000x1000中，所有的行都是不增加的?我猜这就是你的“B部分”的来源吧?)

2013-03-11 00:21:17

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