谢谢你这个有趣的问题:

因为你让我想起了牛顿的工作，它真的可以解决这个问题

请参考牛顿恒等式

As变量的数量=方程的数量(必须为一致性)

我认为，对于这个问题，我们应该提高袋数的幂，以便创建不同的方程。

我不知道，但是，我相信如果有一个函数，比如f，我们要加上f(xi)

x1+x2+…+ xk = z1

x12 + x22 + ... + xk2 = z2

............

............

............

x1k + x2k + ... + xkk = XP

休息是一个不确定时间和空间复杂性的数学工作，但牛顿恒等式肯定会发挥重要作用。

我们不能用集合理论吗 .difference_update()或在这个问题方法中是否有线性代数的机会?

有一个通用的方法来解决这样的流问题。 我们的想法是使用一些随机化，希望将k个元素“分散”到独立的子问题中，在那里我们的原始算法为我们解决了问题。该技术用于稀疏信号重建等。

创建一个大小为u = k^2的数组a。 选取任意通用哈希函数h:{1，…，n} ->{1，…，u}。(如multiply-shift) 对于1中的每一个i，…， n增加a[h(i)] += i 对于输入流中的每个数字x，减去a[h(x)] -= x。

如果所有缺失的数字都已散列到不同的bucket中，则数组的非零元素现在将包含缺失的数字。

根据通用哈希函数的定义，特定对被发送到同一桶的概率小于1/u。由于大约有k^2/2对，我们有错误概率不超过k^2/2/u=1/2。也就是说，我们成功的概率至少是50%，如果我们增加u，我们的机会就会增加。

注意，这个算法占用k^2 logn位的空间(每个数组桶需要logn位)。这与@Dimitris Andreou的答案所需要的空间相匹配(特别是多项式因式分解的空间要求，它碰巧也是随机的。) 该算法每次更新的时间也是常数，而不是幂和情况下的时间k。

事实上，通过使用评论中描述的技巧，我们甚至可以比幂和法更有效。

一种方法是对质数101取模。

计算并存储整数1到100的乘积，对该数字取101的模。小外显:结果是1。

计算并存储所有数字1到100的和，对结果对101进行模运算。小exo:结果是0。

现在假设袋子里的数字x和y都被拿走了。

求包里所有东西对101模的乘积和。这样我就知道的值

A = x+y和 b = x * y

modulo 101。

现在很容易求出x和y对101的模(求解含有101个元素的有限域上的二次多项式)。

现在你知道了x和y对101的模。但是因为你知道x和y都小于101，所以你知道它们的真实值。

You can motivate the solution by thinking about it in terms of symmetries (groups, in math language). No matter the order of the set of numbers, the answer should be the same. If you're going to use k functions to help determine the missing elements, you should be thinking about what functions have that property: symmetric. The function s_1(x) = x_1 + x_2 + ... + x_n is an example of a symmetric function, but there are others of higher degree. In particular, consider the elementary symmetric functions. The elementary symmetric function of degree 2 is s_2(x) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + ... + x_1 x_n + x_2 x_3 + ... + x_(n-1) x_n, the sum of all products of two elements. Similarly for the elementary symmetric functions of degree 3 and higher. They are obviously symmetric. Furthermore, it turns out they are the building blocks for all symmetric functions.

你可以通过注意s_2(x,x_(n+1)) = s_2(x) + s_1(x)(x_(n+1))来构建初等对称函数。进一步思考应该会使您相信s_3(x,x_(n+1)) = s_3(x) + s_2(x)(x_(n+1))等等，因此它们可以在一次传递中计算。

我们如何知道数组中缺少了哪些项?考虑多项式(z-x_1) (z-x_2)……(z-x_n)。如果你输入任意一个数字x_i，它的值都是0。展开多项式，得到z^n-s_1(x)z^(n-1)+。+ (-1)^n s_n。初等对称函数也出现在这里，这并不奇怪，因为多项式应该保持不变，如果我们对根进行任何排列。

所以我们可以建立一个多项式，并尝试因式分解来找出哪些数不在集合中，就像其他人提到的那样。

Finally, if we are concerned about overflowing memory with large numbers (the nth symmetric polynomial will be of the order 100!), we can do these calculations mod p where p is a prime bigger than 100. In that case we evaluate the polynomial mod p and find that it again evaluates to 0 when the input is a number in the set, and it evaluates to a non-zero value when the input is a number not in the set. However, as others have pointed out, to get the values out of the polynomial in time that depends on k, not N, we have to factor the polynomial mod p.

这是个很简单的问题

void findMissing(){
    bool record[N] = {0};
    for(int i = 0; i < N; i++){
        record[bag[i]-1] = 1;
    }
    for(int i = 0; i < N; i++){
        if(!record[i]) cout << i+1 << endl;
    }
}

O(n)时间和空间复杂度

我还没有检查数学，但我怀疑在计算Σ(n)的同时计算Σ(n^2)将提供足够的信息来得到两个缺失的数字，如果有三个，也要计算Σ(n^3)，等等。