有没有一种简单的方法来确定一个点是否在三角形内?是2D的，不是3D的。
当前回答
有一些恼人的边条件，即一个点恰好在两个相邻三角形的公共边上。这个点不可能在两个三角形中，也不可能不在两个三角形中。你需要一种任意但一致的方式来分配点。例如，画一条横线穿过这个点。如果这条直线与三角形的另一边在右侧相交，则该点被视为在三角形内。如果交点在左边，则该点在外面。
如果该点所在的直线是水平的，则使用above/below。
如果该点位于多个三角形的公共顶点上，则使用该点与中心点形成的角最小的三角形。
更有趣的是:三个点可以在一条直线上(零度)，例如(0,0)-(0,10)-(0,5)。在三角剖分算法中，“耳朵”(0,10)必须被切掉，生成的“三角形”是直线的退化情况。
其他回答
老实说，这就像Simon P Steven的回答一样简单，但是用这种方法，你无法控制你是否想要包含三角形边缘上的点。
我的方法有点不同，但非常基本。考虑下面的三角形;
为了在三角形中有这个点我们必须满足三个条件
ACE角(绿色)应小于ACB角(红色) ECB角(蓝色)应小于ACB角(红色) 当点E和点C的x和y值应用于|AB|直线方程时，点E和点C的符号应该相同。
在此方法中，您可以完全控制单独包含或排除边缘上的点。所以你可以检查一个点是否在三角形中，例如，只包括|AC|边。
所以我的JavaScript解决方案是这样的;
function isInTriangle(t,p){ function isInBorder(a,b,c,p){ var m = (a.y - b.y) / (a.x - b.x); // calculate the slope return Math.sign(p.y - m*p.x + m*a.x - a.y) === Math.sign(c.y - m*c.x + m*a.x - a.y); } function findAngle(a,b,c){ // calculate the C angle from 3 points. var ca = Math.hypot(c.x-a.x, c.y-a.y), // ca edge length cb = Math.hypot(c.x-b.x, c.y-b.y), // cb edge length ab = Math.hypot(a.x-b.x, a.y-b.y); // ab edge length return Math.acos((ca*ca + cb*cb - ab*ab) / (2*ca*cb)); // return the C angle } var pas = t.slice(1) .map(tp => findAngle(p,tp,t[0])), // find the angle between (p,t[0]) with (t[1],t[0]) & (t[2],t[0]) ta = findAngle(t[1],t[2],t[0]); return pas[0] < ta && pas[1] < ta && isInBorder(t[1],t[2],t[0],p); } var triangle = [{x:3, y:4},{x:10, y:8},{x:6, y:10}], point1 = {x:3, y:9}, point2 = {x:7, y:9}; console.log(isInTriangle(triangle,point1)); console.log(isInTriangle(triangle,point2));
下面是一个高效的Python实现:
def PointInsideTriangle2(pt,tri):
'''checks if point pt(2) is inside triangle tri(3x2). @Developer'''
a = 1/(-tri[1,1]*tri[2,0]+tri[0,1]*(-tri[1,0]+tri[2,0])+ \
tri[0,0]*(tri[1,1]-tri[2,1])+tri[1,0]*tri[2,1])
s = a*(tri[2,0]*tri[0,1]-tri[0,0]*tri[2,1]+(tri[2,1]-tri[0,1])*pt[0]+ \
(tri[0,0]-tri[2,0])*pt[1])
if s<0: return False
else: t = a*(tri[0,0]*tri[1,1]-tri[1,0]*tri[0,1]+(tri[0,1]-tri[1,1])*pt[0]+ \
(tri[1,0]-tri[0,0])*pt[1])
return ((t>0) and (1-s-t>0))
和一个示例输出:
如果你正在寻找速度，这里有一个方法可能会帮助你。
对三角形顶点的纵坐标进行排序。这最多需要三次比较。设Y0 Y1 Y2是三个排好序的值。通过画三条水平线，你可以把这个平面分成两个半平面和两块平板。设Y为查询点的纵坐标。
if Y < Y1
if Y <= Y0 -> the point lies in the upper half plane, outside the triangle; you are done
else Y > Y0 -> the point lies in the upper slab
else
if Y >= Y2 -> the point lies in the lower half plane, outside the triangle; you are done
else Y < Y2 -> the point lies in the lower slab
又花费了两次比较。如你所见，在“边界板”之外的点可以快速拒绝。
可选地，您可以在横坐标上提供一个测试，以便在左侧和右侧快速拒绝(X <= X0'或X >= X2')。这将同时实现一个快速的包围框测试，但您还需要在横坐标上排序。
最终，你需要计算给定点的符号，相对于三角形的两边，划定相关的板(上或下)。该测试形式为:
((X - Xi) * (Y - Yj) > (X - Xi) * (Y - Yj)) == ((X - Xi) * (Y - Yk) > (X - Xi) * (Y - Yk))
关于i, j, k组合的完整讨论(根据排序的结果，有六种组合)超出了这个答案的范围，“留给读者练习”;为了提高效率，它们应该被硬编码。
如果您认为这个解决方案很复杂，请注意，它主要涉及简单的比较(其中一些可以预先计算)，加上6个减法和4个乘法，以防边界盒测试失败。后者的代价是难以克服的，因为在最坏的情况下，你无法避免将测试点与两边进行比较(在其他答案中，没有哪种方法的代价更低，有些方法的代价更低，比如15个减法和6个乘法，有时是除法)。
更新: 用剪切变换更快
如上所述，您可以使用两次比较快速定位由三个顶点纵坐标分隔的四个水平带之一内的点。
您可以选择执行一个或两个额外的X测试来检查边界框(虚线)的内部性。
然后考虑X'= X - m Y, Y' = Y给出的“剪切”变换，其中m是最高边的斜率DX/DY。这个变换会使三角形的这条边是垂直的。因为你知道你在中间水平线的哪一边，所以只用三角形的一条边来测试符号就足够了。
假设你预先计算了斜率m，以及剪切三角形顶点的X'和边方程的系数X = m Y + p，你将需要在最坏的情况下
纵向分类的两个纵坐标比较; 可选的一个或两个横坐标比较用于边界框拒绝; 计算X' = X - m Y; 与剪切三角形的横坐标作一两次比较; 一个符号测试X >< m' Y + p'对剪切三角形的相关边。
一个简单的方法是:
找出连接 分别指向三角形的三个点 顶点和夹角之和 这些向量。如果它们的和 角度是2*那么点是 在三角形里面。
两个解释替代方案的好网站是:
黑卒和沃尔夫勒姆
我在最后一次尝试谷歌和找到这个页面之前写了这段代码，所以我想我应该分享它。它基本上是Kisielewicz答案的优化版本。我也研究了重心法，但从维基百科的文章来看，我很难看出它是如何更有效的(我猜有一些更深层次的等价性)。不管怎样，这个算法的优点是不用除法;一个潜在的问题是边缘检测的行为取决于方向。
bool intpoint_inside_trigon(intPoint s, intPoint a, intPoint b, intPoint c)
{
int as_x = s.x - a.x;
int as_y = s.y - a.y;
bool s_ab = (b.x - a.x) * as_y - (b.y - a.y) * as_x > 0;
if ((c.x - a.x) * as_y - (c.y - a.y) * as_x > 0 == s_ab)
return false;
if ((c.x - b.x) * (s.y - b.y) - (c.y - b.y)*(s.x - b.x) > 0 != s_ab)
return false;
return true;
}
换句话说，思想是这样的:点s是在直线AB和直线AC的左边还是右边?如果是真的，它就不可能在里面。如果为假，则至少在“锥”内满足条件。现在，因为我们知道三角形(三角形)内的一个点必须与BC(以及CA)在AB的同一侧，我们检查它们是否不同。如果有，s就不可能在里面，否则s一定在里面。
计算中的一些关键字是线半平面和行列式(2x2叉乘)。也许一个更有教学意义的方法是将它看作是一个在AB、BC和CA的同一侧(左或右)的点。然而，上面的方法似乎更适合进行一些优化。
