最近我参加了一个面试，面试官要求我“编写一个程序，从一个包含10亿个数字的数组中找出100个最大的数字”。
我只能给出一个蛮力解决方案，即以O(nlogn)时间复杂度对数组进行排序，并取最后100个数字。
Arrays.sort(array);
面试官正在寻找一个更好的时间复杂度，我尝试了几个其他的解决方案，但都没有回答他。有没有更好的时间复杂度解决方案?
当前回答
虽然其他的quickselect解决方案已经被否决，但事实是quickselect将比使用大小为100的队列更快地找到解决方案。在比较方面，Quickselect的预期运行时间为2n + o(n)。一个非常简单的实现是
array = input array of length n
r = Quickselect(array,n-100)
result = array of length 100
for(i = 1 to n)
if(array[i]>r)
add array[i] to result
这平均需要3n + o(n)次比较。此外，quickselect将数组中最大的100个项保留在最右边的100个位置，这可以提高效率。所以实际上，运行时间可以提高到2n+o(n)。
有一个问题是，这是预期的运行时间，而不是最坏的情况，但通过使用一个不错的主元选择策略(例如，随机选择21个元素，并选择这21个元素的中位数作为主元)，那么比较的数量可以保证高概率为(2+c)n对于任意小的常数c。
事实上，通过使用优化的抽样策略(例如随机抽样平方根(n)个元素，并选择第99百分位数)，对于任意小的c(假设K，要选择的元素数量为o(n))，运行时间可以降至(1+c)n + o(n)。
另一方面，使用大小为100的队列将需要O(log(100)n)个比较，log以2为底100的对数大约等于6.6。
如果我们从更抽象的意义上考虑这个问题，即从大小为N的数组中选择最大的K个元素，其中K=o(N)，但K和N都趋于无穷大，那么快速选择版本的运行时间将是o(N)，队列版本的运行时间将是o(N log K)，因此在这种意义上，快速选择也渐近地更好。
在注释中，提到队列解决方案将在随机输入的预期时间N + K log N内运行。当然，随机输入假设永远不会成立，除非问题明确地说明了这一点。队列解决方案可以以随机顺序遍历数组，但这将产生对随机数生成器的N次调用的额外成本，以及排列整个输入数组或分配一个长度为N的包含随机索引的新数组。
如果问题不允许您移动原始数组中的元素，并且分配内存的成本很高，因此不能复制数组，那就是另一回事了。但严格地从运行时间来看，这是最好的解决方案。
其他回答
您可以使用快速选择算法在(按顺序)索引[十亿-101]处查找数字 然后遍历这些数字找出比这个数字更大的数。
array={...the billion numbers...}
result[100];
pivot=QuickSelect(array,billion-101);//O(N)
for(i=0;i<billion;i++)//O(N)
if(array[i]>=pivot)
result.add(array[i]);
该算法时间为:2 X O(N) = O(N)(平均情况性能)
Thomas Jungblut建议的第二个选择是:
使用堆构建最大堆将花费O(N)，然后前100个最大的数字将在堆的顶部，所有你需要的是把它们从堆(100 X O(Log(N))。
该算法时间为:O(N) + 100 X O(Log(N)) = O(N)
虽然其他的quickselect解决方案已经被否决，但事实是quickselect将比使用大小为100的队列更快地找到解决方案。在比较方面，Quickselect的预期运行时间为2n + o(n)。一个非常简单的实现是
array = input array of length n
r = Quickselect(array,n-100)
result = array of length 100
for(i = 1 to n)
if(array[i]>r)
add array[i] to result
这平均需要3n + o(n)次比较。此外，quickselect将数组中最大的100个项保留在最右边的100个位置，这可以提高效率。所以实际上，运行时间可以提高到2n+o(n)。
有一个问题是，这是预期的运行时间，而不是最坏的情况，但通过使用一个不错的主元选择策略(例如，随机选择21个元素，并选择这21个元素的中位数作为主元)，那么比较的数量可以保证高概率为(2+c)n对于任意小的常数c。
事实上，通过使用优化的抽样策略(例如随机抽样平方根(n)个元素，并选择第99百分位数)，对于任意小的c(假设K，要选择的元素数量为o(n))，运行时间可以降至(1+c)n + o(n)。
另一方面，使用大小为100的队列将需要O(log(100)n)个比较，log以2为底100的对数大约等于6.6。
如果我们从更抽象的意义上考虑这个问题，即从大小为N的数组中选择最大的K个元素，其中K=o(N)，但K和N都趋于无穷大，那么快速选择版本的运行时间将是o(N)，队列版本的运行时间将是o(N log K)，因此在这种意义上，快速选择也渐近地更好。
在注释中，提到队列解决方案将在随机输入的预期时间N + K log N内运行。当然，随机输入假设永远不会成立，除非问题明确地说明了这一点。队列解决方案可以以随机顺序遍历数组，但这将产生对随机数生成器的N次调用的额外成本，以及排列整个输入数组或分配一个长度为N的包含随机索引的新数组。
如果问题不允许您移动原始数组中的元素，并且分配内存的成本很高，因此不能复制数组，那就是另一回事了。但严格地从运行时间来看，这是最好的解决方案。
另一个O(n)算法-
该算法通过消元法找到最大的100个
考虑所有的百万数字的二进制表示。从最重要的位开始。确定MSB是否为1可以通过布尔运算与适当的数字相乘来完成。如果百万个数字中有超过100个1，就去掉其他带0的数字。现在剩下的数从下一个最有效的位开始。计算排除后剩余数字的数量，只要这个数字大于100，就继续进行。
主要的布尔运算可以在图形处理器上并行完成
从十亿个数字中找到前100个最好使用包含100个元素的最小堆。
首先用遇到的前100个数字对最小堆进行质数。Min-heap将前100个数字中最小的存储在根(顶部)。
现在，当你继续计算其他数字时，只将它们与根数(100中最小的数)进行比较。
如果遇到的新数字大于最小堆的根，则将根替换为该数字，否则忽略它。
作为在最小堆中插入新数字的一部分，堆中最小的数字将移到顶部(根)。
一旦我们遍历了所有的数字，我们将得到最小堆中最大的100个数字。
I would find out who had the time to put a billion numbers into an array and fire him. Must work for government. At least if you had a linked list you could insert a number into the middle without moving half a billion to make room. Even better a Btree allows for a binary search. Each comparison eliminates half of your total. A hash algorithm would allow you to populate the data structure like a checkerboard but not so good for sparse data. As it is your best bet is to have a solution array of 100 integers and keep track of the lowest number in your solution array so you can replace it when you come across a higher number in the original array. You would have to look at every element in the original array assuming it is not sorted to begin with.
