我需要在半径为R的圆内生成一个均匀随机点。
我意识到，只要在区间[0…2π)，且在区间(0…R)我最终会有更多的点指向中心，因为对于两个给定的半径，小半径内的点会比大半径内的点彼此更接近。
我在这里找到了一篇关于这个的博客文章，但我不明白他的推理。我认为这是正确的，但我真的很想知道他从哪里得到(2/R2)×r以及他如何得到最终解。
更新:在发布这个问题7年之后，关于平方根算法背后的数学问题，我仍然没有得到一个令人满意的答案。所以我花了一天时间自己写了一个答案。链接到我的答案。
当前回答
这取决于你对"均匀随机"的定义。这是一个微妙的点，你可以在这里的wiki页面上阅读更多关于它的内容:http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29，在这里同样的问题，对“均匀随机”给出不同的解释会给出不同的答案!
根据你如何选择这些点，分布可能会有所不同，即使它们在某种意义上是均匀随机的。
It seems like the blog entry is trying to make it uniformly random in the following sense: If you take a sub-circle of the circle, with the same center, then the probability that the point falls in that region is proportional to the area of the region. That, I believe, is attempting to follow the now standard interpretation of 'uniformly random' for 2D regions with areas defined on them: probability of a point falling in any region (with area well defined) is proportional to the area of that region.
其他回答
下面是我的Python代码，从半径为rad的圆中生成num个随机点:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
rad = 10
num = 1000
t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num)
r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num))
x = r * np.cos(t)
y = r * np.sin(t)
plt.plot(x, y, "ro", ms=1)
plt.axis([-15, 15, -15, 15])
plt.show()
这可能会帮助那些对选择速度算法感兴趣的人;最快的方法是(可能?)拒绝抽样。
只需在单位正方形内生成一个点，并拒绝它，直到它在圆内。如(伪代码),
def sample(r=1):
while True:
x = random(-1, 1)
y = random(-1, 1)
if x*x + y*y <= 1:
return (x, y) * r
虽然有时它可能运行不止一次或两次(而且它不是常量时间，也不适合并行执行)，但它要快得多，因为它不使用像sin或cos这样复杂的公式。
这里有一个快速而简单的解决方案。
在(0,1)范围内选择两个随机数，即a和b。如果b < a，则交换它们。你的观点是(b * R * cos(2 *π* a / b), b * R * sin(2 *π* a / b))。
您可以这样考虑这个解决方案。如果你把圆切开，然后把它拉直，你会得到一个直角三角形。把这个三角形缩小，你会得到一个从(0,0)到(1,0)到(1,1)再回到(0,0)的三角形，所有这些变换都会均匀地改变密度。你所做的就是在三角形中随机取一个点然后反过来得到圆中的一个点。
首先我们生成一个cdf[x]
一点到圆心的距离小于x的概率。假设圆的半径为R。
显然，如果x = 0，那么cdf[0] = 0
显然，如果x是R，则cdf[R] = 1
显然，如果x = r，则cdf[r] = (r^2)/(r^2)
这是因为圆上的每个“小区域”都有相同的被选中的概率，所以概率与问题区域成比例。距离圆心x的面积是r^2
所以cdf[x] = x^2/R^2因为两者相互抵消了
我们有cdf[x]=x^2/R^2其中x从0到R
我们解出x
R^2 cdf[x] = x^2
x = R Sqrt[ cdf[x] ]
现在我们可以用一个从0到1的随机数来替换cdf
x = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ]
最后
r = R Sqrt[ RandomReal[{0,1}] ];
theta = 360 deg * RandomReal[{0,1}];
{r,theta}
我们得到极坐标 {0.601168 R, 311.915°}
半径和“靠近”该半径的点的数量之间存在线性关系，因此他需要使用半径分布，这也使得半径r附近的数据点的数量与r成正比。
