到目前为止，一些答案给出了指数时间，一些涉及动态规划。我怀疑这些是否有必要。

我的解是O(mnS)其中m和n是板子的维度，S是所有整数的和。这个想法相当野蛮:找到每次可以杀死最多的位置，并在0处终止。

对于给定的棋盘，它给出28步棋，并且在每次落子后打印出棋盘。

完整的，不言自明的代码:

import java.util.Arrays;

public class BombMinDrops {

    private static final int[][] BOARD = {{2,3,4,7,1}, {1,5,2,6,2}, {4,3,4,2,1}, {2,1,2,4,1}, {3,1,3,4,1}, {2,1,4,3,2}, {6,9,1,6,4}};
    private static final int ROWS = BOARD.length;
    private static final int COLS = BOARD[0].length;
    private static int remaining = 0;
    private static int dropCount = 0;
    static {
        for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
            for (int j = 0; j < COLS; j++) {
                remaining = remaining + BOARD[i][j];
            }
        }
    }

    private static class Point {
        int x, y;
        int kills;

        Point(int x, int y, int kills) {
            this.x = x;
            this.y = y;
            this.kills = kills;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return dropCount + "th drop at [" + x + ", " + y + "] , killed " + kills;
        }
    }

    private static int countPossibleKills(int x, int y) {
        int count = 0;
        for (int row = x - 1; row <= x + 1; row++) {
            for (int col = y - 1; col <= y + 1; col++) {
                try {
                    if (BOARD[row][col] > 0) count++;
                } catch (ArrayIndexOutOfBoundsException ex) {/*ignore*/}
            }
        }

        return count;
    }

    private static void drop(Point here) {
        for (int row = here.x - 1; row <= here.x + 1; row++) {
            for (int col = here.y - 1; col <= here.y + 1; col++) {
                try {
                    if (BOARD[row][col] > 0) BOARD[row][col]--;
                } catch (ArrayIndexOutOfBoundsException ex) {/*ignore*/}
            }
        }

        dropCount++;
        remaining = remaining - here.kills;
        print(here);
    }

    public static void solve() {
        while (remaining > 0) {
            Point dropWithMaxKills = new Point(-1, -1, -1);
            for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
                for (int j = 0; j < COLS; j++) {
                    int possibleKills = countPossibleKills(i, j);
                    if (possibleKills > dropWithMaxKills.kills) {
                        dropWithMaxKills = new Point(i, j, possibleKills);
                    }
                }
            }

            drop(dropWithMaxKills);
        }

        System.out.println("Total dropped: " + dropCount);
    }

    private static void print(Point drop) {
        System.out.println(drop.toString());
        for (int[] row : BOARD) {
            System.out.println(Arrays.toString(row));
        }

        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        solve();
    }

}

蛮力!

我知道它效率不高，但即使你找到了一个更快的算法，你也可以对这个结果进行测试，以了解它有多准确。

使用一些递归，像这样:

void fn(tableState ts, currentlevel cl)
{
  // first check if ts is all zeros yet, if not:
  //
  // do a for loop to go through all cells of ts, 
  // for each cell do a bomb, and then
  // call: 
  // fn(ts, cl + 1);

}

你可以通过缓存来提高效率，如果不同的方法导致相同的结果，你不应该重复相同的步骤。

阐述:

如果轰炸单元格1,3,5的结果与轰炸单元格5,3,1的结果相同，那么，对于这两种情况，您不应该重新执行所有后续步骤，只需1就足够了，您应该将所有表状态存储在某个地方并使用其结果。

表统计信息的散列可以用于快速比较。

Pólya说:“如果你不能解决一个问题，那么有一个更容易解决的问题:找到它。”

显然更简单的问题是一维问题(当网格是单行时)。让我们从最简单的算法开始——贪婪地轰炸最大的目标。什么时候会出问题?

给定11 11，贪婪算法对先炸毁哪个单元格无关。当然，中心单元格更好——它一次将所有三个单元格归零。这就提出了一种新的算法a，“炸弹最小化剩余的总和”。这个算法什么时候会出错?

给定1 1 2 11 1，算法A在轰炸第2，第3或第4单元格之间是无所谓的。但是轰炸第二个单元格，留下0 0 11 11比轰炸第三个单元格，留下10 10 10 10 1好。如何解决这个问题?轰炸第三个单元格的问题是，左边的功和右边的功必须分开做。

“炸弹使剩余的总和最小化，但使左边(我们轰炸的地方)的最小值和右边的最小值最大化”如何?叫这个算法b，这个算法什么时候出错?

编辑:在阅读了评论之后，我同意一个更有趣的问题将是改变一维问题，使其两端连接起来。很乐意看到这方面的进展。

这是我的解决方案。由于时间有限，我不会用代码写出来，但我相信这应该每次都能产生最优的移动数量——尽管我不确定它在寻找要轰炸的点时是否有效。

首先，正如@Luka Rahne在一条评论中所说的，你轰炸的顺序并不重要，重要的是组合。

其次，正如许多人所说的那样，从角的对角线上轰炸1是最优的，因为它接触的点比角多。

这就生成了我的算法版本的基础: 我们可以在第一个或最后一个炸掉拐角的1-off，这没有关系(理论上) 我们首先破坏这些，因为它可以让后面的决定更容易(在实践中) 我们轰炸影响最大的点，同时轰炸那些角落。

让我们将阻力点定义为棋盘上具有最多不可炸点+周围0数量最多的点

非爆炸点可以定义为在我们正在研究的黑板的当前范围内不存在的点。

我还将定义4个处理范围的边界: 上=0，左=0，下=k，右=j。 (起始值)

最后，我将最优炸弹定义为投掷在与阻力点相邻的点上的炸弹，并接触(1)最高值的阻力点和(2)可能的最大数量的点。

关于方法，很明显我们正在从外到内的工作。我们将能够同时与4架“轰炸机”一起工作。

第一个阻力点显然是我们的弯道。“边界外”的点是不可轰炸的(每个角落的范围外都有5个点)。所以我们先在对角线上炸一个角。

算法:

找到4个最佳炸弹点。 如果一个炸弹点正在轰炸一个接触2个边界(即一个角)的阻力点，则一直轰炸到该点为0。否则，逐个轰炸，直到其中一个触及最佳轰炸点的阻力点为0。 对于每个边界: 如果(sum(bound)==0)前进界

重复以上步骤，直到上=下，左=右

稍后我将尝试编写实际代码

对于更新后的问题，简单的贪心算法可以得到最优结果。

向单元格A[1,1]投掷A[0,0]炸弹，然后向单元格A[2,1]投掷A[1,0]炸弹，并继续向下此过程。要清除左下角，向单元格A[n -2,1]投掷max(A[n -1,0]， A[n -2,0]， A[n -3,0])炸弹。这将完全清除前3列。

用同样的方法清除第3、4、5列，然后是第6、7、8列，等等。

不幸的是，这并不能帮助找到最初问题的解决方案。

“更大”的问题(没有“非增加”约束)可能被证明是np困难的。这是证明的草图。

假设我们有一个度为3的平面图形。我们来求这个图的最小顶点覆盖。根据维基百科的文章，这个问题对于3次以下的平面图形是np困难的。这可以通过平面3SAT的简化来证明。平面3SAT的硬度由3SAT降低而成。这两个证明都在Erik Demaine教授最近的“算法下界”讲座(第7和第9讲)中提出。

如果我们分割原始图的一些边(图中左边的图)，每条边都有偶数个额外的节点，结果图(图中右边的图)应该对原始顶点具有完全相同的最小顶点覆盖。这样的转换允许将图顶点对齐到网格上的任意位置。

如果我们将图顶点只放置在偶数行和列上(这样就不会有两条边与一个顶点形成锐角)，在有边的地方插入“1”，在其他网格位置插入“0”，我们可以使用原始问题的任何解决方案来找到最小顶点覆盖。

有一种方法可以把这个问题简化为一个简单的子问题。

解释分为两部分，算法和算法的原因 提供最优解决方案。没有第二个，第一个就说不通了，所以我 从为什么开始。

如果你想轰炸矩形(假设一个大矩形-还没有边缘情况) 你可以看到，只有这样才能减少空心矩形上的正方形 周长到0的意思是炸毁周长或者炸毁的空心矩形 就在外围的方块里。我称周长为图层1，其中的矩形为图层2。

一个重要的观点是，没有点轰炸层1，因为 你这样做得到的“爆炸半径”总是包含在爆炸半径内 另一个来自第2层的正方形。你应该很容易就能说服自己。

所以，我们可以把问题简化为找到一个最优的方法来炸开周长，然后我们可以重复这个过程，直到所有的平方都为0。

但当然了，如果有爆炸的可能，并不总能找到最优解 以一种不太理想的方式远离周边，但通过使用X个额外的炸弹制造 用>X炸弹减少内层的问题。如果我们调用 第一层，如果我们在第二层的某个地方放置一个额外的X炸弹(只是 在第1层内，我们可以减少之后轰炸第2层的努力吗 X ?换句话说，我们必须证明我们可以贪心化简外部 周长。

但是，我们知道我们可以贪婪。因为第2层的炸弹永远不会更多 有效减少第2层到0比战略上放置炸弹在第3层。和 因为和之前一样的原因-总有一个炸弹我们可以放在第3层 将影响第2层的每一个方块，炸弹放在第2层可以。所以，它可以 永远不要伤害我们的贪婪(在这个意义上的贪婪)。

所以，我们要做的就是找到最优的方法，通过轰炸将许可值降为0 下一个内层。

我们永远不会因为先把角落炸到0而受伤，因为只有内层的角落可以到达，所以我们真的没有选择(并且，任何可以到达角落的周长炸弹的爆炸半径都包含在内层角落的爆炸半径中)。

一旦我们这样做了，与0角相邻的周长上的正方形只能由内层的2个正方形到达:

0       A       B

C       X       Y

D       Z

在这一点上，周长实际上是一个封闭的1维环，因为任何炸弹都会减少3个相邻的正方形。除了角落附近的一些奇怪之处——X可以“击中”A、B、C和D。

Now we can't use any blast radius tricks - the situation of each square is symmetric, except for the weird corners, and even there no blast radius is a subset of another. Note that if this were a line (as Colonel Panic discusses) instead of a closed loop the solution is trivial. The end points must be reduced to 0, and it never harms you to bomb the points adjacent to the end points, again because the blast radius is a superset. Once you have made your endpoint 0, you still have a new endpoint, so repeat (until the line is all 0).

所以，如果我们可以优化地将层中的单个正方形减少到0，我们就有了一个算法(因为我们已经切断了循环，现在有了一条带有端点的直线)。我相信轰炸与最小值相邻的正方形(给你2个选项)，这样在最小值的2个正方形内的最大值就是最小值(你可能不得不分割你的轰炸来管理这一点)将是最优的，但我还没有证明。