我总是用这种方法来计算筛子算法后面的质数。

void primelist()
 {
   for(int i = 4; i < pr; i += 2) mark[ i ] = false;
   for(int i = 3; i < pr; i += 2) mark[ i ] = true; mark[ 2 ] = true;
   for(int i = 3, sq = sqrt( pr ); i < sq; i += 2)
       if(mark[ i ])
          for(int j = i << 1; j < pr; j += i) mark[ j ] = false;
  prime[ 0 ] = 2; ind = 1;
  for(int i = 3; i < pr; i += 2)
    if(mark[ i ]) ind++; printf("%d\n", ind);
 }

另一个Python实现比死亡面具推销员的答案更直接，也更快:

import numpy as np

def prime_numbers(limit: int) -> list[int]:
    """Provide a list of all prime numbers <= the limit."""
    is_prime = np.full((limit + 1, ), True)
    is_prime[0:2] = False
    for n in range(2, limit + 1):
        if is_prime[n]:
            is_prime[n**2::n] = False
    return list(np.where(is_prime)[0])

你可以进一步优化，例如，排除2，或者硬编码更多质数，但我想保持简单。

*示例运行时比较(注意:我使用了其他实现的优化形式，见我的评论):

I know it's somewhat later, but this could be useful to people arriving here from searches. Anyway, here's some JavaScript that relies on the fact that only prime factors need to be tested, so the earlier primes generated by the code are re-used as test factors for later ones. Of course, all even and mod 5 values are filtered out first. The result will be in the array P, and this code can crunch 10 million primes in under 1.5 seconds on an i7 PC (or 100 million in about 20). Rewritten in C it should be very fast.

var P = [1, 2], j, k, l = 3

for (k = 3 ; k < 10000000 ; k += 2)
{
  loop: if (++l < 5)
  {
    for (j = 2 ; P[j] <= Math.sqrt(k) ; ++j)
      if (k % P[j] == 0) break loop

    P[P.length] = k
  }
  else l = 0
}

#include<stdio.h>
main()
{
    long long unsigned x,y,b,z,e,r,c;
    scanf("%llu",&x);
    if(x<2)return 0;
    scanf("%llu",&y);
    if(y<x)return 0;
    if(x==2)printf("|2");
    if(x%2==0)x+=1;
    if(y%2==0)y-=1;
    for(b=x;b<=y;b+=2)
    {
        z=b;e=0;
        for(c=2;c*c<=z;c++)
        {
            if(z%c==0)e++;
            if(e>0)z=3;
        }
        if(e==0)
        {
            printf("|%llu",z);
            r+=1;
        }
    }
    printf("|\n%llu outputs...\n",r);
    scanf("%llu",&r);
}    

有一个100%的数学测试可以检查一个数字P是质数还是合数，叫做AKS质数测试。

概念很简单:给定一个数字P，如果(x-1)^P - (x^P-1)的所有系数都能被P整除，那么P是一个质数，否则它是一个合数。

例如，给定P = 3，会给出多项式:

   (x-1)^3 - (x^3 - 1)
 = x^3 + 3x^2 - 3x - 1 - (x^3 - 1)
 = 3x^2 - 3x

系数都能被3整除，所以这个数是素数。

P = 4不是质数的例子是:

   (x-1)^4 - (x^4-1)
 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - (x^4 - 1)
 = -4x^3 + 6x^2 - 4x

这里我们可以看到系数6不能被4整除，因此它不是质数。

多项式(x-1)^P有P+1项，可以用组合法找到。因此，这个测试将在O(n)个运行时间内运行，所以我不知道这有多有用，因为你可以简单地从0到p遍历I，然后测试剩余的部分。

这取决于您的应用程序。这里有一些注意事项:

你需要的仅仅是一些数字是否是质数的信息，你需要所有的质数达到一定的限度，还是你需要(潜在的)所有的质数? 你要处理的数字有多大?

米勒-拉宾和模拟测试只比筛选超过一定规模的数字(我相信大约在几百万左右)的速度快。在这以下，使用试除法(如果你只有几个数字)或筛子会更快。